복소수 곱셈의 작도

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$\text{by Real QAN}$

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Subject: math · Type: math-concept · Stage: stable
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한 줄 요약

복소수 곱셈을 회전 닮음 변환으로 해석하고 작도 과정을 정리한다.

Desmos 작도

복소수의 편각과 원주각

$z=r{e}^{i\theta }$ 라 하자.

$z-1$ 은 $(0,0)$, $(1,0)$ 을 지나고 반지름이 $r$ 인 원에서, $z$ 와 $(1,0)$ 에 대한 원주각을 편각으로 가진다.

복소수 곱셈과 변환

$z=r_1{e}^{i{\theta }_1}$, $w=r_2{e}^{i{\theta }_2}$ 라 하자.

$zw$ 는 $z$ 를 반시계방향으로 ${\theta }_2$ 만큼 회전한 후, 길이를 $r_2$ 만큼 축소·확대한 회전 닮음 변환이다. 이는 $w$ 에 대해서도 대칭적으로 볼 수 있다.

작도 과정

W(w), Z(z)로 각각의 복소수에 대응되는 복소평면 위의 점을 설정하고, D(1,0)이라 하자. 또한 각각의 외접원을 $C_W$, $C_Z$ 라 하자. 삼각형 A, B는 닮음이다.

1. 두 외접원 $C_Z$, $C_W$ 를 그린다.
2. 직선 $AZ$ 가 $C_W$ 와 A 외에 다시 만나는 점을 $Z^{\prime }$ 라 하고, 직선 $AW$ 가 $C_Z$ 와 다시 만나는 점을 $W^{\prime }$ 라 하자.
3. 직선 $W{Z}^{\prime }$ 와 직선 $Z{W}^{\prime }$ 를 엇갈려 긋는다.
4. 두 직선의 교점이 $ZW$ 다.

증명

직선 $W{Z}^{\prime }$ 가 $ZW$ 를 지난다.

$Z^{\prime }$ 가 $C_W$ 위에 있으므로 $O,A,W,Z^{\prime }$ 는 한 원 위에 있고, 현 $\overline{AW}$ 의 원주각이 같으므로

$$\angle A{Z}^{\prime }W=\angle AOW=\arg w={\theta }_2$$

이다. $Z^{\prime }$ 가 직선 $AZ$ 위에 있으므로, 직선 $W{Z}^{\prime }$ 는 직선 $AZ$ 를 ${\theta }_2$ 만큼 돌린 방향을 가진다.

한편 항등식

$$zw-w=w(z-1)$$

에서, 직선 $W(ZW)$ 역시 $z-1$ 즉 직선 $AZ$ 방향을 $\arg w={\theta }_2$ 만큼 돌린 방향이다. 두 직선이 방향이 같고 점 $W$ 를 공유하므로 일치한다. 즉 $ZW$ 는 직선 $W{Z}^{\prime }$ 위에 있다.

대칭으로, $W^{\prime }$ 가 $C_Z$ 위에 있으므로

$$\angle A{W}^{\prime }Z=\angle AOZ=\arg z={\theta }_1$$

이고, $zw-z=z(w-1)$ 에 의해 직선 $Z{W}^{\prime }$ 도 $ZW$ 를 지난다.

따라서 두 직선 $W{Z}^{\prime }$, $Z{W}^{\prime }$ 의 교점은 $ZW$ 다.

연결

• 관련 개념: 복소함수의 시각화
• 같이 보면 좋은 정리:

출처

• https://www.desmos.com/calculator/xxgjeqxaik

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