복소함수의 시각화

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by Real QAN

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Subject: math · Type: math-concept · Stage: stable
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한 줄 요약

정의역을 한 변수만 자유롭게 두는 단면으로 제한하여 차원을 축소하고, 그 단면들을 모아 복소함수 $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 를 3차원 공간에 도시한다.

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복소함수의 그래프와 차원 문제

$\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 로 정의된 함수 $f$ 의 그래프는 정의역의 복소수 $z$ 와 함숫값 $f(z)$ 를 한 공간에 함께 나타내야 한다. 그런데 $z$ 와 $f(z)$ 가 각각 실수부·허수부로 2개의 실수 자유도를 가지므로, 그래프는 ${\mathbb{R}}^4$ 에 놓이게 된다. 따라서 $f$ 의 그래프를 온전히 그리려면 4차원 공간이 필요하다. 그러나 4차원 공간에 그래프를 직접 도시하는 것은 시각화의 목적에 부합하지 않으므로, 자유도를 하나 줄여 3차원에서 나타낼 방법이 요구된다.

차원 축소의 방법

정의역의 변수를

$$z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$$

로 두면, 그래프가 ${\mathbb{R}}^4$ 에 놓이는 원인은 입력의 자유도 $a,b$ 두 개에 있다.

이때 $a$ 또는 $b$ 중 하나를 상수로 고정하면 입력의 자유도가 하나로 줄어, 그래프는 3차원 공간 안의 곡선이 된다. 구체적으로,

• 고정되지 않은 입력 변수 하나를 $z$ 축에 대응시키고,
• 그에 따른 함숫값 $f(z)$ 의 실수부·허수부를 각각 $x$ 축, $y$ 축에 대응시킨다.

즉 한 단면에서 그래프는

$$(\mathrm{Re}f(z),\mathrm{Im}f(z),t)(t=\text{자유 변수})$$

로 매개화된 공간곡선이다. 고정한 상수를 모든 실수에 대해 연속적으로 변화시키면, 이 곡선들이 모여 정의역 전체에 대응하는 함숫값을 이루는 곡면이 된다.

$\sinh z$

$$f(z)=\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$$

를 예로 든다. 덧셈정리에 의해

$$\sinh (a+bi)=\sinh a\cosh (bi)+\cosh a\sinh (bi)$$

이고, $\cosh (bi)=\cos b$, $\sinh (bi)=i\sin b$ 이므로

$$\sinh (a+bi)=\sinh a\cos b+i\cosh a\sin b$$

가 성립한다. 따라서 실수부와 허수부는

$$\mathrm{Re}f=\sinh a\cos b,\mathrm{Im}f=\cosh a\sin b$$

이다.

이제 $b$ 를 상수로 고정하면(상수 고정 과정은 a,b 둘 다 가능하다.) 입력은 $a$ 하나뿐이므로, 단면 그래프는

$$(\sinh a\cos b,\cosh a\sin b,a)$$

로 매개화된 공간곡선이 된다. 고정한 $b$ 를 모든 실수에 대해 변화시키면 이 곡선들이 곡면을 이루며, 이것이 $\sinh z$ 의 3차원 시각화이다.

이를 구현한 Desmos 링크는 아래와 같다.

https://www.desmos.com/3d/cokjga5uig?lang=ko

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