Dot, Cross Product

상위 노트: Study MOC

Study Route

Subject: math · Type: math-concept · Stage: evergreen
Parent: Study MOC
Why here:
Next action:

한 줄 요약

내적, 외적의 다양한 활용.

내적(Dot Product)

정의

Algebraic operation that takes two equal length sequences of numbers and returns a single number.

좌표 정의:

$$\mathbf{a}=[a_1,a_2,\cdots ,a_n],\mathbf{b}=[b_1,b_2,\cdots ,b_n]$$ $$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sum _i{a}_i{b}_i$$

column vector라면

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={\mathbf{a}}^T\mathbf{b}$$

기하적 정의:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert \cos \theta$$

성질

• Commutative
• Bilinear
• Not associative
• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0\iff$ orthogonal
• No cancellation

질문

복소수에서 내적을 어떻게 정의해야 하나.

내 맘대로 정의

내적의 성질에 맞추어서 정의를 해보자.

복소수는 $1\times 2$ 의 row vector처럼 볼 수 있으므로,

$$z=a+bi⟺(a,b)$$

로 둔다. 그러면 두 복소수

$$\begin{array}{rl}{z}_1& =a+bi,\\ z_2& =c+di\end{array}$$

에 대해

$$z_1\cdot z_2=ac+bd$$

가 된다.

이 내적의 결괏값이 $\mathrm{Re}({\bar{z}}_1{z}_2)$ 임을 고려해서, 두 복소수 $z,w$ 에 대해 내적을 다음과 같이 정의한다.

복소수 느낌쓰 내적

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

극형식을 이용하면 두 복소수의 편각 차를 $\cos$ 으로 갖고, 크기의 곱을 가짐을 보일 수 있다.

기존 평면벡터 내적과의 일치

먼저 정의를 조금 더 정확히 쓰면,

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

이다. 여기서 가운데의 $\bar{z}w$ 는 복소수의 일반적인 곱셈이다.

$$z=a+bi,w=c+di$$

라고 하면,

$$\bar{z}w=(a-bi)(c+di)=ac+bd+i(ad-bc)$$

따라서

$$\mathrm{Re}(\bar{z}w)=ac+bd$$

즉

$$z\cdot w=ac+bd$$

이므로, 복소수를 $(a,b)$, $(c,d)$ 라는 평면벡터로 보았을 때의 내적과 정확히 일치한다.

결국 새로 만든 것처럼 보이지만, 사실은 $\mathbb{C}$ 를 ${\mathbb{R}}^2$ 로 본 내적을 복소수 기호로 쓴 것이다.

극형식에서의 의미

$$z=r{e}^{i\theta },w=s{e}^{i\varphi }$$

라고 하면,

$$\bar{z}w=r{e}^{-i\theta }s{e}^{i\varphi }=rs{e}^{i(\varphi -\theta )}$$

따라서

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)=rs\cos (\varphi -\theta )$$

즉

$$z\cdot w=|z||w|\cos (\arg w-\arg z)$$

가 된다. 이는 기존 내적의 기하적 정의

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert \cos \theta$$

와 완전히 같은 형태이다.

성질 확인

1. 교환법칙

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w),w\cdot z=\mathrm{Re}(\bar{w}z)$$

그런데

$$\bar{w}z=\overline{\bar{z}w}$$

이고, 켤레복소수끼리는 실수부가 같으므로

$$\mathrm{Re}(\bar{z}w)=\mathrm{Re}(\bar{w}z)$$

따라서

$$z\cdot w=w\cdot z$$

교환법칙이 성립한다.

2. 덧셈에 대한 분배법칙

$$\begin{array}{rl}(z_1+z_2)\cdot w& =\mathrm{Re}(\overline{z_1+z_2}w)\\ & =\mathrm{Re}(({\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2)w)\\ & =\mathrm{Re}({\bar{z}}_{1}w+{\bar{z}}_{2}w)\\ & =\mathrm{Re}({\bar{z}}_{1}w)+\mathrm{Re}({\bar{z}}_{2}w)\end{array}$$

즉

$$(z_1+z_2)\cdot w=z_1\cdot w+z_2\cdot w$$

이다. 교환법칙이 이미 성립하므로 두 번째 자리에서도

$$z\cdot (w_1+w_2)=z\cdot w_1+z\cdot w_2$$

가 성립한다.

3. 실수배에 대한 선형성

실수 $k\in \mathbb{R}$ 에 대해,

$$\begin{array}{rl}(kz)\cdot w& =\mathrm{Re}(\overline{kz}w)\\ & =\mathrm{Re}(k\bar{z}w)\\ & =k\mathrm{Re}(\bar{z}w)\end{array}$$

즉

$$(kz)\cdot w=k(z\cdot w)$$

이다. 마찬가지로

$$z\cdot (kw)=k(z\cdot w)$$

도 성립한다.

하지만 복소수 스칼라 $\alpha$ 에 대해서는 일반적으로 선형성이 성립하지 않는다. 예를 들어,

$$(iz)\cdot w=\mathrm{Re}(\overline{iz}w)=\mathrm{Re}(-i\bar{z}w)$$

인데, 이것은 일반적으로 $i\mathrm{Re}(\bar{z}w)$ 와 같을 수 없다. 왼쪽은 실수인데 오른쪽은 보통 허수이기 때문이다.

따라서 이 내적은 복소수 벡터공간의 내적이라기보다는,

$$\mathbb{C}\cong {\mathbb{R}}^2$$

로 본 실수 벡터공간 위의 내적이라고 봐야 한다.

4. 자기 자신과의 내적

$$z\cdot z=\mathrm{Re}(\bar{z}z)$$

그런데

$$\bar{z}z=|z{|}^2$$

이고, 이는 실수이므로

$$z\cdot z=|z{|}^2\ge 0$$

이다. 또한 $z\cdot z=0$ 이면 $|z{|}^2=0$ 이므로 $z=0$ 이다. 즉 양의 정부호성도 만족한다.

5. 직교 조건

두 복소수 $z,w$ 가 복소평면에서 수직이라는 것은, 벡터 $(a,b)$ 와 $(c,d)$ 가 수직이라는 뜻이다. 위에서

$$z\cdot w=|z||w|\cos (\arg w-\arg z)$$

임을 보였다. 따라서 $z,w$ 가 둘 다 0이 아닐 때,

$$z\cdot w=0$$

이면

$$\cos (\arg w-\arg z)=0$$

이다. 즉

$$\arg w-\arg z=\frac{\pi }{2}$$

또는 그에 준하는 홀수배의 직각이므로, 두 복소수는 복소평면에서 수직이다.

$$z\perp w⟺z\cdot w=0$$

예를 들어,

$$1\cdot i=\mathrm{Re}(\bar{1}i)=\mathrm{Re}(i)=0$$

이므로 1과 $i$ 는 수직이다.

6. 결합법칙은 없음

내적값 $z\cdot w$ 은 복소수가 아니라 실수이다. 따라서 $(z\cdot w)\cdot u$ 같은 표현은 자연스럽지 않다. 첫 번째 내적을 하고 나면 벡터가 아니라 숫자가 나오기 때문이다.

다만 실수 스칼라배와는 잘 맞는다.

$$k(z\cdot w)=(kz)\cdot w=z\cdot (kw)$$

단, 여기서 $k$ 는 실수이다.

7. 약분법칙은 성립하지 않음

실수 곱셈에서는

$$ab=ac,a\ne 0$$

이면 $b=c$ 라고 할 수 있다. 하지만 내적에서는 그게 안 된다.

만약

$$z\cdot w=z\cdot u$$

라면,

$$z\cdot (w-u)=0$$

이다. 이것은 단지 $w-u$ 가 $z$ 와 수직이라는 뜻이지, $w-u=0$ 이라는 뜻은 아니다.

예를 들어,

$$z=1,w=0,u=i$$

라고 하자. 그러면

$$1\cdot 0=0,1\cdot i=\mathrm{Re}(i)=0$$

이므로

$$1\cdot 0=1\cdot i$$

이지만 $0\ne i$ 이다.

8. 곱미분 법칙

복소수 값 함수

$$z=z(t),w=w(t)$$

에 대해

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

로 정의하면,

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}(z\cdot w)& =\frac{d}{dt}\mathrm{Re}(\bar{z}w)\\ & =\mathrm{Re}\left(\frac{d}{dt}(\bar{z}w)\right)\\ & =\mathrm{Re}({\bar{z}}^{\prime }w+\bar{z}{w}^{\prime })\\ & =\mathrm{Re}({\bar{z}}^{\prime }w)+\mathrm{Re}(\bar{z}{w}^{\prime })\end{array}$$

따라서

$$\frac{d}{dt}(z\cdot w)=z^{\prime }\cdot w+z\cdot w^{\prime }$$

이다.

결론

내가 정의한

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

은 기존 내적의 성질을 대부분 잘 만족한다. 핵심은 이 정의가 새로운 복소수 내적이라기보다는 $\mathbb{C}$ 를 ${\mathbb{R}}^2$ 로 보았을 때의 실수 내적이라는 점이다.

복소수 표현을 쓰면

$$\bar{z}w=|z||w|e^{i(\arg w-\arg z)}$$

이므로,

$$\mathrm{Re}(\bar{z}w)=|z||w|\cos (\arg w-\arg z)$$

가 바로 나온다. 즉 실수부는 내적 성분이고,

$$\mathrm{Im}(\bar{z}w)=|z||w|\sin (\arg w-\arg z)$$

는 방향 있는 넓이 성분처럼 볼 수 있다.

그래서 $\bar{z}w$ 전체는 단순한 내적보다 더 많은 정보를 가진다. 실수부는 두 벡터가 얼마나 같은 방향인지, 허수부는 두 벡터가 얼마나 회전되어 있고 어느 방향으로 벌어져 있는지를 담는다.

따라서 최종적으로

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

는 복소평면에서의 내적이고, $\bar{z}w$ 는 내적과 외적 비슷한 정보를 동시에 담는 복소수식 표현이라고 볼 수 있다.

예제

연결

• 관련 개념:
• 같이 보면 좋은 정리:

출처

• https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

다음 행동