Dot, Cross Product

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Subject: math · Type: math-concept · Stage: evergreen
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한 줄 요약

내적, 외적의 다양한 활용

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내적(Dot Product)

Info

Algebraic Operation that takes two equal length sequences of numbers and return a single number.

정의

Coordinate Def) a = $[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$, b = $[b_1,b_2,\cdots ,b_n]$ 에 대해 $a\cdot b=\sum a_i{b}_i$ for column Vector a,b $a\cdot b=a^{T}b$ Geometirc Def) $a\cdot b=||a||||b||cos\theta$

성질

Commutative

Bilinear

Not associative

if a $\cdot$ b = 0 $\iff$ Orthogonal

No Cancellation

Question

복소수에서 내적을 어떻게 정의해야 하나.

내 맘대로 정의

내적의 성질에 맞추어서 정의를 해보자.

일단, 복소수는 생긴게 1x2의 row vector처럼 생겨먹었으니, 한 번 해보도록 하자.

벡터 비스무리 Def

$$Letz=a+bi\iff (a,b)$$

그러면 어떤 두 복소수

$$\begin{array}{rl}& z_1=a+bi\\ & z_2=c+di\\ & \text{내적하면}\\ & z_1\cdot z_2=ac+bd\end{array}$$

흠… 실수랑 다를 게 없어서 별로 마음에 안 든다.

그러면, 이 내적의 결괏값이 $Re(\overline{z_1}{z}_2)$ 임을 잘 고려해서, 어떤 두 복소수 z, w에 대해 내적을 다음과 같이 정의하면 어떨까?

복소수 느낌쓰 내적

$z\cdot w=Re(\bar{z}\cdot w)$

극형식을 이용하면, 두 복소수의 편각 차를 cos으로 갖고, 크기의 곱을 가짐을 자명하게 보일 수 있다. 그러면 이게 기존 내적의 성질을 만족하는지 확인해보자.

증명

먼저 정의를 조금 더 정확히 쓰면,

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

이다. 여기서 가운데의 $\bar{z}w$는 복소수의 일반적인 곱셈이다.

일단 이 정의가 진짜로 기존 벡터 내적과 같은지 확인해보자.

$$z=a+bi,w=c+di$$

라고 하면,

$$\bar{z}w=(a-bi)(c+di)$$ $$=ac+bd+i(ad-bc)$$

따라서

$$\mathrm{Re}(\bar{z}w)=ac+bd$$

즉

$$z\cdot w=ac+bd$$

이므로, 복소수를 $(a,b)$, $(c,d)$라는 평면벡터로 보았을 때의 내적과 정확히 일치한다.

흠… 결국 새로 만든 것처럼 보이지만, 사실은 $\mathbb{C}$를 ${\mathbb{R}}^2$로 본 내적을 복소수 기호로 예쁘게 쓴 것이다.

그래도 마음에 드는 점은, 극형식으로 쓰면 기하적 의미가 바로 보인다는 것이다.

$$z=r{e}^{i\theta },w=s{e}^{i\varphi }$$

라고 하면,

$$\bar{z}w=r{e}^{-i\theta }s{e}^{i\varphi }$$ $$=rs{e}^{i(\varphi -\theta )}$$

따라서

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$ $$=rs\cos (\varphi -\theta )$$

즉

$$z\cdot w=|z||w|\cos (\arg w-\arg z)$$

가 된다.

이건 기존 내적의 기하적 정의

$$a\cdot b=||a||||b||\cos \theta$$

와 완전히 같은 형태이다.

여기서 $\theta$는 두 복소수의 편각 차이다.

따라서 이 정의는 적어도 기하적으로는 내적의 역할을 잘 한다고 볼 수 있다.

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이제 성질을 확인해보자.

1. 교환법칙

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$ $$w\cdot z=\mathrm{Re}(\bar{w}z)$$

그런데

$$\bar{w}z=\overline{\bar{z}w}$$

이다.

켤레복소수끼리는 실수부가 같으므로,

$$\mathrm{Re}(\bar{z}w)=\mathrm{Re}(\bar{w}z)$$

따라서

$$z\cdot w=w\cdot z$$

교환법칙 성립.

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2. 덧셈에 대한 분배법칙

$$(z_1+z_2)\cdot w=\mathrm{Re}(\overline{z_1+z_2}w)$$

켤레는 덧셈에 대해 분배되므로,

$$\overline{z_1+z_2}={\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2$$

따라서

$$(z_1+z_2)\cdot w=\mathrm{Re}(({\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2)w)$$ $$=\mathrm{Re}({\bar{z}}_{1}w+{\bar{z}}_{2}w)$$

실수부도 덧셈에 대해 분배되므로,

$$=\mathrm{Re}({\bar{z}}_{1}w)+\mathrm{Re}({\bar{z}}_{2}w)$$

즉

$$(z_1+z_2)\cdot w=z_1\cdot w+z_2\cdot w$$

이다.

교환법칙이 이미 성립하므로 두 번째 자리에서도 마찬가지로

$$z\cdot (w_1+w_2)=z\cdot w_1+z\cdot w_2$$

가 성립한다.

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3. 실수배에 대한 선형성

실수 $k\in \mathbb{R}$에 대해,

$$(kz)\cdot w=\mathrm{Re}(\overline{kz}w)$$

실수는 켤레를 취해도 그대로이므로,

$$\overline{kz}=k\bar{z}$$

따라서

$$(kz)\cdot w=\mathrm{Re}(k\bar{z}w)$$ $$=k\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

즉

$$(kz)\cdot w=k(z\cdot w)$$

이다.

마찬가지로

$$z\cdot (kw)=k(z\cdot w)$$

도 성립한다.

따라서 이 정의는 실수 스칼라에 대해서 bilinear하다.

하지만 여기서 조심해야 한다.

복소수 스칼라 $\alpha$에 대해서는 일반적으로 선형성이 성립하지 않는다.

예를 들어,

$$(iz)\cdot w=\mathrm{Re}(\overline{iz}w)$$ $$=\mathrm{Re}(-i\bar{z}w)$$

인데, 이것은 일반적으로

$$i\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

와 같을 수 없다.

애초에 왼쪽은 실수인데, 오른쪽은 보통 허수이기 때문이다.

따라서 이 내적은 복소수 벡터공간의 내적이라기보다는,

$$\mathbb{C}\cong {\mathbb{R}}^2$$

로 본 실수 벡터공간 위의 내적이라고 봐야 한다.

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4. 자기 자신과의 내적

내적이라면 자기 자신과 내적했을 때 길이 제곱이 나와야 한다.

$$z\cdot z=\mathrm{Re}(\bar{z}z)$$

그런데

$$\bar{z}z=|z{|}^2$$

이고, 이는 실수이므로

$$z\cdot z=|z{|}^2$$

따라서

$$z\cdot z\ge 0$$

이다.

또한

$$z\cdot z=0$$

이면

$$|z{|}^2=0$$

이므로

$$z=0$$

이다.

즉 양의 정부호성도 만족한다.

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5. 직교 조건

두 복소수 $z,w$가 복소평면에서 수직이라는 것은, 벡터 $(a,b)$와 $(c,d)$가 수직이라는 뜻이다.

위에서 이미

$$z\cdot w=|z||w|\cos (\arg w-\arg z)$$

임을 보였다.

따라서 $z,w$가 둘 다 0이 아닐 때,

$$z\cdot w=0$$

이면

$$\cos (\arg w-\arg z)=0$$

이다.

즉

$$\arg w-\arg z=\frac{\pi }{2}$$

또는 그에 준하는 홀수배의 직각이므로, 두 복소수는 복소평면에서 수직이다.

따라서

$$z\perp w\iff z\cdot w=0$$

이다.

예를 들어,

$$1\cdot i=\mathrm{Re}(\bar{1}i)=\mathrm{Re}(i)=0$$

이므로 $1$과 $i$는 수직이다.

이건 복소평면에서 실수축과 허수축이 수직이라는 직관과 정확히 맞는다.

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6. 결합법칙은 없음

내적값

$$z\cdot w$$

은 복소수가 아니라 실수이다.

따라서

$$(z\cdot w)\cdot u$$

같은 표현은 애초에 자연스럽지 않다.

첫 번째 내적을 하고 나면 벡터가 아니라 숫자가 나오기 때문이다.

그래서 내적에 대해 일반적인 의미의 결합법칙은 없다.

다만 실수 스칼라배와는 잘 맞는다.

$$k(z\cdot w)=(kz)\cdot w=z\cdot (kw)$$

단, 여기서 $k$는 실수이다.

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7. 약분법칙은 성립하지 않음

실수 곱셈에서는

$$ab=ac,a\ne 0$$

이면

$$b=c$$

라고 할 수 있다.

하지만 내적에서는 그게 안 된다.

복소수에 대해 정의한 이 내적에서도 마찬가지이다.

만약

$$z\cdot w=z\cdot u$$

라면,

$$z\cdot (w-u)=0$$

이다.

이것은 단지 $w-u$가 $z$와 수직이라는 뜻이지,

$$w-u=0$$

이라는 뜻은 아니다.

예를 들어,

$$z=1,w=0,u=i$$

라고 하자.

그러면

$$1\cdot 0=0$$

이고,

$$1\cdot i=\mathrm{Re}(i)=0$$

이므로

$$1\cdot 0=1\cdot i$$

이지만

$$0\ne i$$

이다.

즉 $1$과 내적한다는 것은 복소평면에서 실수축 방향 성분만 보는 것과 비슷하다.

그래서 허수축 방향으로 차이가 나도 내적값에는 안 잡힌다.

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8. 곱미분 법칙

복소수 값 함수

$$z=z(t),w=w(t)$$

에 대해

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

로 정의하면,

$$\frac{d}{dt}(z\cdot w)=\frac{d}{dt}\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

실수부와 미분은 교환 가능하므로,

$$=\mathrm{Re}\left(\frac{d}{dt}(\bar{z}w)\right)$$

곱미분을 쓰면,

$$=\mathrm{Re}({\bar{z}}^{\prime }w+\bar{z}{w}^{\prime })$$ $$=\mathrm{Re}({\bar{z}}^{\prime }w)+\mathrm{Re}(\bar{z}{w}^{\prime })$$

따라서

$$\frac{d}{dt}(z\cdot w)=z^{\prime }\cdot w+z\cdot w^{\prime }$$

이다.

기존 벡터 내적의 곱미분 법칙과 같은 꼴이다.

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9. 결론

내가 정의한

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

은 기존 내적의 성질을 대부분 잘 만족한다.

다만 핵심은, 이 정의가 진짜로 새로운 복소수 내적이라기보다는

$$\mathbb{C}$$

를

$${\mathbb{R}}^2$$

로 보았을 때의 실수 내적이라는 점이다.

그래도 복소수 표현을 쓰면 장점이 있다.

$$\bar{z}w=|z||w|e^{i(\arg w-\arg z)}$$

이므로,

$$\mathrm{Re}(\bar{z}w)=|z||w|\cos (\arg w-\arg z)$$

가 바로 나온다.

즉 실수부는 내적 성분이고,

$$\mathrm{Im}(\bar{z}w)=|z||w|\sin (\arg w-\arg z)$$

는 방향 있는 넓이 성분처럼 볼 수 있다.

그래서

$$\bar{z}w$$

전체는 단순한 내적보다 더 많은 정보를 가진다.

실수부는 두 벡터가 얼마나 같은 방향인지, 허수부는 두 벡터가 얼마나 회전되어 있고 어느 방향으로 벌어져 있는지를 담는다.

따라서 최종적으로,

$$z\cdot w=\mathrm{Re}(\bar{z}w)$$

는 복소평면에서의 내적이고,

$$\bar{z}w$$

는 내적과 외적 비슷한 정보를 동시에 담는 복소수식 표현이라고 볼 수 있다.

예제

연결

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출처

https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

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