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Study Route

Subject: phys · Type: concept · Stage: seedling
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< 이러한 형태의 상황을 설정하자. > 선 = 관 사각형 도형 : 뚜껑 열린 물통 각각의 관 기준 수면의 높이를 h 관의 왼쪽 입구와 오른쪽 출구의 높이 차 h’ 대기압 = P_{atm} 관의 유효단면적 a(const) 물통의 유효단면적 A(const) $A>>a$ 유체는 물이고 이상적인 유체이다.

<초기 상태>

오른쪽 상자에서 관의 높이와 같은 수면에 위치한 물 중 관과 멀리 떨어져 있는 물을 1 관 진입 직후 물을 2라고 하자.

1에선 정수압 가정 가능하므로 1과 2로 베르누이 원리와 연속방정식을 사용한다.

$$\begin{array}{rl}& P_1+\rho g{z}_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=P_2+\rho g{z}_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2\\ & A{v}_1=a{v}_2,v_1=\frac{a}{A}{v}_2\approx 0\\ & \text{따라서 }{P}_1=P_{atm}+\rho gh\\ & z_1=z_2\text{ 이므로 }{P}_2=P_{a}tm+\rho gh-\frac{1}{2}\rho v_2^2\end{array}$$

관 왼쪽 출구 직전의 위치를 3이라고 했을 때, 연속방정식에 의해 아래 식이 성립한다.

$a{v}_2=a{v}_3$ 따라서, $v=v_2=v_3$ 이다.

2,3에 대해서도 베르누이 원리를 이용하여

$$\begin{array}{rl}& P_2+\rho g{z}_2+\frac{1}{2}\rho v^2=P_3+\rho g(z_2-h^{\prime })+\frac{1}{2}\rho v^2\\ & P_3=P_2+\rho g{h}^{\prime }\end{array}$$

3에서 4로 넘어갈 때, 단순히 steady flow에 대한 베르누이 원리를 사용할 수 없다. 이유 I. steady flow 베르누이 원리는 충분히 작은 입체각을 가진 채로 운동하는 어떤 이상유체에 대한 운동을 서술하는 식이다 II. 그러나, 현 상황에서는 3에서 4위치(왼쪽 관 출구 직후)로 이동함에 따라, 확산에 의한 와류가 있음이 확실시되기 때문에 베르누이 원리를 이용할 수 없다. III. 충분히 먼 위치에서 속력에 의한 에너지가 모든 압력 에너지로 환원되었는지 확신할 수 없기 때문에 베르누이 원리를 사용할 수 없다.

3에서 4로 갈 때

$$P_4=P_3+\frac{1}{2}\rho v^2$$

라고 두면 안 된다.

이 식은 3에서의 속도 에너지

$$\frac{1}{2}\rho v^2$$

가 4에서 전부 압력 에너지로 회복된다는 뜻이다.

하지만 실제 구조는

$$3\to W\to 4$$

에 가깝다.

여기서

• $3$ : 관 출구 제트 영역
• $W$ : 와류적 속도장이 생기는 중간 영역
• $4$ : 출구에서 충분히 먼 정수압 영역

이다.

즉 3과 4를 같은 유선 위의 두 점처럼 보고 베르누이 식을 바로 쓰면 안 된다.

---

왜 단순 베르누이를 쓰면 안 되는가

베르누이 식은 보통

$$P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho u^2=\text{constant}$$

로 쓴다.

하지만 이 식은 아무 두 점에나 적용되는 식이 아니다.

정확히는, 이상유체의 정상 흐름에서 베르누이 상수는 같은 유선 위에서 보존된다.

즉

$$B=\frac{P}{\rho }+gz+\frac{u^2}{2}$$

라고 하면,

$$B=\text{constant along a streamline}$$

이다.

만약 유동이 비회전이라면

$$\vec{\omega }=\nabla \times \vec{u}=0$$

이므로 전체 영역에서 하나의 베르누이 상수를 쓸 수 있다.

하지만 관이 큰 물통으로 갑자기 열려 있으면, 관 출구 이후의 흐름은 더 이상 좁은 관 안의 1차원 유동으로 유지되지 않는다.

관에서 나온 물은 물통 안으로 퍼지고, 주변의 거의 정지한 물을 밀며, 출구 주변에 와류적 속도장을 만든다.

따라서 3과 4 사이 전체에 하나의 베르누이 상수를 적용할 수 없다.

특히 같은 높이에서 $z_3=z_4$라고 놓고

$$P_3+\frac{1}{2}\rho v^2=P_4$$

라고 쓰는 것은, 3의 운동에너지가 4에서 전부 압력으로 회복된다고 가정하는 것이다.

하지만 실제로는 그 에너지가 중간의 와류 영역 $W$에 복잡한 유동 에너지로 남는다.

따라서

$$P_4\ne P_3+\frac{1}{2}\rho v^2$$

이다.

---

오일러 방정식에서 확인

이상유체의 운동방정식은 오일러 방정식이다.

$z$축을 위쪽으로 잡고, 중력은 아래쪽으로 작용한다고 하면

$$\rho \frac{D\vec{u}}{Dt}=-\nabla P-\rho g\hat{z}$$

이다.

정상 흐름에서는

$$\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}=0$$

이므로

$$\frac{D\vec{u}}{Dt}=(\vec{u}\cdot \nabla )\vec{u}$$

이다.

따라서 오일러 방정식은

$$\rho (\vec{u}\cdot \nabla )\vec{u}=-\nabla P-\rho g\hat{z}$$

가 된다.

여기서 벡터 항등식

$$(\vec{u}\cdot \nabla )\vec{u}=\nabla \left(\frac{u^2}{2}\right)-\vec{u}\times (\nabla \times \vec{u})$$

을 사용한다.

와도는

$$\vec{\omega }=\nabla \times \vec{u}$$

이므로,

$$(\vec{u}\cdot \nabla )\vec{u}=\nabla \left(\frac{u^2}{2}\right)-\vec{u}\times \vec{\omega }$$

이다.

이를 오일러 방정식에 대입하면

$$\rho \left[\nabla \left(\frac{u^2}{2}\right)-\vec{u}\times \vec{\omega }\right]=-\nabla P-\rho g\hat{z}$$

이다.

양변을 $\rho$로 나누면

$$\nabla \left(\frac{u^2}{2}\right)-\vec{u}\times \vec{\omega }=-\nabla \left(\frac{P}{\rho }\right)-g\hat{z}$$

이다.

또한

$$g\hat{z}=\nabla (gz)$$

이므로

$$\nabla \left(\frac{u^2}{2}\right)-\vec{u}\times \vec{\omega }=-\nabla \left(\frac{P}{\rho }\right)-\nabla (gz)$$

이다.

gradient 항들을 한쪽으로 모으면

$$\nabla \left(\frac{P}{\rho }+gz+\frac{u^2}{2}\right)=\vec{u}\times \vec{\omega }$$

이다.

따라서

$$B=\frac{P}{\rho }+gz+\frac{u^2}{2}$$

라고 하면,

$$\nabla B=\vec{u}\times \vec{\omega }$$

이다.

이 식이 핵심이다.

와류가 없으면

$$\vec{\omega }=0$$

이므로

$$\nabla B=0$$

이다.

따라서 전체 영역에서

$$B=\text{constant}$$

이다.

하지만 와류가 존재하면

$$\vec{\omega }\ne 0$$

이고, 일반적으로

$$\vec{u}\times \vec{\omega }\ne 0$$

이므로

$$\nabla B\ne 0$$

이다.

즉 위치에 따라 베르누이 상수가 달라질 수 있다.

따라서 3과 4 사이에서 하나의 베르누이 상수를 사용할 수 없다.

---

같은 유선 위에서는 왜 베르누이가 되는가

위에서 얻은 식은

$$\nabla B=\vec{u}\times \vec{\omega }$$

이다.

양변에 $\vec{u}$를 내적하면

$$\vec{u}\cdot \nabla B=\vec{u}\cdot (\vec{u}\times \vec{\omega })$$

이다.

그런데

$$\vec{u}\cdot (\vec{u}\times \vec{\omega })=0$$

이다.

왜냐하면 $\vec{u}\times \vec{\omega }$는 $\vec{u}$에 수직이기 때문이다.

따라서

$$\vec{u}\cdot \nabla B=0$$

이다.

유선 방향의 단위벡터를

$$\hat{s}=\frac{\vec{u}}{u}$$

라고 하면,

$$\frac{dB}{ds}=\nabla B\cdot \hat{s}=\nabla B\cdot \frac{\vec{u}}{u}=\frac{1}{u}\vec{u}\cdot \nabla B=0$$

이다.

따라서

$$\frac{dB}{ds}=0$$

이고,

$$B=\text{constant along a streamline}$$

이다.

정리하면,

• 와류가 있어도 같은 유선 위에서는 베르누이 가능
• 와류가 없으면 전체 영역에서 베르누이 가능
• 와류가 있고 서로 다른 유선/혼합 영역을 지나면 하나의 베르누이 상수 사용 불가

이다.

현재 3에서 4로 넘어가는 상황은 세 번째에 가깝다.

---

3 이후의 에너지 해석

관 출구 3에서는 물이 속도

$$v$$

를 가진다.

따라서 단위 부피당 운동에너지는

$$\frac{1}{2}\rho v^2$$

이다.

하지만 3 이후 물이 큰 물통 내부로 들어가면 이 에너지가 곧바로 압력에너지로 바뀌지 않는다.

관 출구 제트는 주변의 거의 정지한 물과 상호작용하면서 복잡한 속도장을 만든다.

따라서 더 타당한 해석은

$$\frac{1}{2}\rho v^2\to \text{와류적 속도장의 운동에너지}$$

이다.

속도를 평균 성분과 요동 성분으로 나누면

$$\vec{u}=\overline{\stackrel{⃗}{u}}+{\vec{u}}^{\prime }$$

이다.

여기서

$$⟨{\vec{u}}^{\prime }⟩=0$$

이 되도록 ${\vec{u}}^{\prime }$를 정의한다.

속도 제곱의 평균은

$$⟨u^2⟩=⟨(\overline{\stackrel{⃗}{u}}+{\vec{u}}^{\prime })\cdot (\overline{\stackrel{⃗}{u}}+{\vec{u}}^{\prime })⟩$$

이다.

전개하면

$$⟨u^2⟩={\bar{u}}^2+2\overline{\stackrel{⃗}{u}}\cdot ⟨{\vec{u}}^{\prime }⟩+⟨u^{\prime 2}⟩$$

이다.

그런데

$$⟨{\vec{u}}^{\prime }⟩=0$$

이므로

$$⟨u^2⟩={\bar{u}}^2+⟨u^{\prime 2}⟩$$

이다.

따라서 평균 운동에너지는

$$\frac{1}{2}\rho ⟨u^2⟩=\frac{1}{2}\rho {\bar{u}}^2+\frac{1}{2}\rho ⟨u^{\prime 2}⟩$$

이다.

물통이 관에 비해 충분히 크면, 관 출구에서 충분히 먼 영역에서는 평균 속도가 거의 0이다.

$$\overline{\stackrel{⃗}{u}}\approx 0$$

하지만 출구 근처 와류 영역에서는

$$⟨u^{\prime 2}⟩\ne 0$$

일 수 있다.

따라서

$$\bar{u}\approx 0$$

이라고 해서 운동에너지가 사라진 것은 아니다.

정확히는

$$\frac{1}{2}\rho ⟨u^2⟩\approx \frac{1}{2}\rho ⟨u^{\prime 2}⟩$$

의 형태로 와류적 운동에너지에 남아 있을 수 있다.

따라서

$$P_3+\frac{1}{2}\rho v^2=P_4$$

가 아니라, 개념적으로는

$$P_3+\frac{1}{2}\rho v^2\sim P_W+\frac{1}{2}\rho ⟨u^{\prime 2}⟩$$

처럼 보는 것이 더 자연스럽다.

즉 3의 운동에너지는 4의 압력 증가로 바로 간 것이 아니라, 중간 영역 $W$의 복잡한 유동 에너지로 분산된다.

---

정수압 근사가 가능한 영역

그렇다고 물통 내부 모든 곳에서 압력이 복잡하다고만 말하면 쓸모가 없다.

중요한 점은, 관 출구에서 충분히 멀리 떨어지면 유속과 와류의 영향이 작아진다는 것이다.

그런 먼 영역을 4라고 잡으면 4에서는 정수압 근사가 가능하다.

왼쪽 물통의 자유수면 높이를 관 출구 3 기준으로

$$H$$

라고 하자.

정수압장이라면

$$P_h(z)=P_{atm}+\rho g(H-z)$$

이다.

실제 압력을 정수압장과 보정항으로 나누면

$$P(r,z)=P_h(z)+\pi (r,z)$$

이다.

여기서

$$\pi (r,z)$$

는 제트와 와류 때문에 생기는 비정수압 보정항이다.

오일러 방정식은

$$\rho \frac{D\vec{u}}{Dt}=-\nabla P-\rho g\hat{z}$$

이다.

여기에

$$P=P_h+\pi$$

를 대입하면

$$\rho \frac{D\vec{u}}{Dt}=-\nabla (P_h+\pi )-\rho g\hat{z}$$

이고,

$$\rho \frac{D\vec{u}}{Dt}=-\nabla P_h-\nabla \pi -\rho g\hat{z}$$

이다.

정수압장에서는

$$\nabla P_h=-\rho g\hat{z}$$

이므로

$$-\nabla P_h-\rho g\hat{z}=0$$

이다.

따라서 남는 것은

$$\rho \frac{D\vec{u}}{Dt}=-\nabla \pi$$

이고,

$$\nabla \pi =-\rho \frac{D\vec{u}}{Dt}$$

이다.

즉 정수압에서 벗어나는 정도는 유체의 가속도에 의해 결정된다.

속도 크기를 U, 길이 크기를 $x$라고 하면

$$\left|\frac{D\vec{u}}{Dt}\right|\sim \frac{U^2}{x}$$ $$\begin{array}{rl}& \frac{D\vec{u}}{Dt}=(\vec{u}\cdot \nabla )\vec{u}\sim |U||U|/x\end{array}$$

이다.

따라서

$$|\nabla \pi |\sim \rho \frac{U^2}{x}$$

이고, 길이 $\text{x}$에 대해 적분하면

$$|\pi |\sim \rho U^2$$

이다.

따라서 실제 압력은

$$P=P_{atm}+\rho g(H-z)+(\pi \sim \rho U^2)$$

로 쓸 수 있다.

즉 유속이 충분히 작아져서

$$\rho U^2\ll \rho gH$$

이면 정수압 근사가 가능하다.

또한 적당한 정리를 거치면

$$\frac{|\pi |}{\rho gH}\sim \frac{U^2}{gH}$$

이다.

따라서

$$\frac{U^2}{gH}\ll 1$$

이면 정수압 근사가 성립한다.

---

거리 r이 멀어질 때 평균 속도 감소

관의 유효 단면적을

$$a$$

관 속도를

$$v$$

라고 하면 유량은

$$Q=av$$

이다.

관 출구에서 나온 물이 큰 물통 내부로 3차원적으로 퍼진다고 보면, 출구에서 거리 $r$인 곳에서 유동이 통과하는 유효 면적은 대략

$$A_{\text{eff}}(r)\sim C{r}^2$$

이다.

여기서 $C$는 유동이 퍼지는 입체각과 관련된 상수이다.

연속방정식에 의해

$$Q=A_{\text{eff}}(r)\bar{U}(r)$$

이므로

$$Q\sim C{r}^2\bar{U}(r)$$

이다.

따라서

$$\bar{U}(r)\sim \frac{Q}{C{r}^2}$$

이다.

즉

$$r\to \infty$$

이면

$$\bar{U}(r)\to 0$$

이다.

관 속도 $v$와 비교하면

$$\frac{\bar{U}(r)}{v}\sim \frac{Q}{C{r}^{2}v}$$

이고,

$$Q=av$$

이므로

$$\frac{\bar{U}(r)}{v}\sim \frac{a}{C{r}^2}$$

이다.

물통이 충분히 크고, 4를 출구에서 충분히 먼 곳에 잡으면

$$C{r}^2\gg a$$

이므로

$$\bar{U}(r)\ll v$$

가 된다.

따라서 4에서는

$${\bar{U}}_4\approx 0$$

라고 둘 수 있다.

다만 이 $r^{-2}$ 감소는 3차원적으로 퍼지는 경우의 스케일링이다.

만약 벽이나 얕은 층 때문에 거의 2차원적으로 퍼진다면 유효 면적 스케일이 달라져서 감소율도 달라질 수 있다.

---

거리 r이 멀어질 때 비정수압 보정 감소

앞에서

$$|\pi |\sim \rho U^2$$

였고,

$$\bar{U}(r)\sim \frac{Q}{C{r}^2}$$

였다.

따라서 평균 유동에 의한 압력 보정은

$$|{\pi }_{\text{mean}}(r)|\sim \rho \bar{U}(r{)}^2$$

이고,

$$|{\pi }_{\text{mean}}(r)|\sim \rho {\left(\frac{Q}{C{r}^2}\right)}^2$$

이다.

따라서

$$|{\pi }_{\text{mean}}(r)|\sim \frac{\rho Q^2}{C^2{r}^4}$$

이다.

즉 평균 유동에 의한 비정수압 보정은

$$r^{-4}$$

로 감소한다.

따라서 충분히 멀리 떨어진 4에서는

$$|{\pi }_{\text{mean}}(r)|\ll \rho gH$$

가 되어

$$P_4\approx P_{atm}+\rho gH$$

라고 둘 수 있다.

---

상태수 증가 관점

3에서는 물이 관 속에서 거의 한 방향으로 움직인다.

$$\vec{u}\approx v\hat{x}$$

즉 속도 방향과 유동 구조가 강하게 제한되어 있다.

이 상태의 가능한 상태수를

$$W_3$$

라고 하자.

관 출구 이후에는 물이 큰 물통 내부로 퍼지며 여러 방향의 와류 속도장을 만들 수 있다.

같은 총 에너지를 가지더라도 가능한 속도 배열이 증가하여, 공간적 분포가 훨씬 많다.

이 상태의 상태수를

$$W_W$$

라고 하면

$$W_W>W_3$$

라고 볼 수 있다.

볼츠만식은

$$S=k_B\ln W$$

이다.

따라서 상태수수 변화는

$$\Delta S_{\text{coarse}}=k_B\ln W_W-k_B\ln W_3$$

이고,

$$\Delta S_{\text{coarse}}=k_B\ln \frac{W_W}{W_3}$$

이다.

그런데

$$W_W>W_3$$

이므로

$$\frac{W_W}{W_3}>1$$

이고,

$$\ln \frac{W_W}{W_3}>0$$

이다.

따라서

$$\Delta S_{\text{coarse}}>0$$

이다.

다만 여기서 조심해야 한다.

유체를 완전히 이상유체로 가정하면 점성 소산이 없다.

따라서 실제 열역학적 엔트로피 생성은 없다.

즉

$$\Delta S_{\text{thermal}}=0$$

이다.

하지만 우리가 와류 영역의 세부 속도장을 모두 추적하지 않고 평균적인 흐름만 본다면, 관 출구 이후 가능한 거시적 속도 배열이 훨씬 많아진다.

그 의미에서

\Delta S_\>0

라고 말할 수 있다.

따라서 이상유체 가정 안에서는 관 출구의 운동에너지가 소실된다고 말하기보다는

$$\text{한 방향 운동에너지}\to \text{와류장에 분산된 운동에너지}$$

라고 보는 것이 더 정확하다.

실제 점성 유체라면 이 와류적 운동에너지가 시간이 지나며 점성 소산을 통해 열로 바뀌고, 그때는 진짜 열역학적 엔트로피 생성이 생긴다.

하지만 엄밀한 이상유체 논의에서는 그 단계까지 말하면 안 된다.

---

결론

3에서 4로 넘어갈 때

$$P_4=P_3+\frac{1}{2}\rho v^2$$

라고 쓰는 것은 잘못이다.

이 식은 3의 속도에너지가 4에서 전부 압력에너지로 회복된다고 가정한다.

하지만 실제 구조는

$$3\to W\to 4$$

이다.

여기서

• $3$ : 관 출구 제트 영역
• $W$ : 와류/난류적 복잡한 속도장 영역
• $4$ : 와류 영향이 충분히 약해진 먼 정수압 영역

이다.

따라서 3과 4를 직접 베르누이로 연결하면 안 된다.

대신 4를 충분히 먼 곳으로 잡으면

$${\bar{U}}_4\approx 0$$

이고,

$$u_{\text{와},4}\approx 0$$

이며,

$${\pi }_4\approx 0$$

이므로

$$P_4\approx P_{atm}+\rho gH$$

를 쓸 수 있다.

즉 최종적으로는

$$P_4\ne P_3+\frac{1}{2}\rho v^2$$

이고,

충분히 먼 정수압 영역에서는

$$P_4\approx P_{atm}+\rho gH$$

이다.

핵심은 이것이다.

3의 운동에너지는 4의 압력 증가로 바로 간 것이 아니다.

그 에너지는 중간의 와류 영역 $W$에 복잡한 유동 에너지로 분산된다.

이상유체에서는 손실이 아닌, 와류 장에 의한.

$$\text{상태수 증가}$$

로 해석하는 것이 안전하다.

연결

• 관련 개념: Bernoulli equation, Euler equation, Second Law of Thermodynamic
• 같이 보면 좋은 것: Fluid mechanics, Hydrostatic pressure, Vorticity

출처

• Lamb vector - Wikipedia
• Beltrami vector field - Wikipedia
• Euler equations (fluid dynamics) - Wikipedia
• Bernoulli’s principle - Wikipedia
• Vector calculus identities - Wikipedia

다음 행동

• 관 출구 제트와 큰 물통 내부 정수압 영역 그림 추가
• $3\to W\to 4$ 도식 추가
• 실제 점성 유체의 sudden expansion loss와 비교 정리